sin(x) のマクローリン展開

おぼえがき

三角関数 sin(x) のマクローリン展開は比較的有名で、次のようなものがある。

\sum^{\infty}_{m=0}\frac{(-1)^m}{(2m+1)!}x^{2m+1}

しかし、この公式は少し特殊である。なぜなら、通常マクローリン展開は次のようなものなのである。

\sum^{\infty}_{n=0}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n}

x の方の様子が違う、というわけである。これは、sin(x) の n 階導関数がの x = 0 における値が 0, 1, 0, -1, ... というように 0 を挟んで繰り返されるために、その値を係数とする項を省略してよいからである。ただ、これでは式の一般化された美しさがないので、無理やり通常のマクローリン展開に倣った描き方を適用してみた。

\sum^{\infty}_{n=0}\frac{((-1)^{n(n-1)/2}-(-1)^{n(n+1)/2})/2}{n!}x^{n}