曲線の長さ - alembert の作業日記

以前から式の偏りが気になっていた、曲線の長さの積分表示がある。xy平面状の曲線の長さ l は次の式で与えられるというもの。

$l = \int_{D}\sqrt{1+(y')^2}dx$

ここで D は積分範囲である。y を x の陽関数と見るあまりの稚拙さに、もやもやが取れなかったが、最近こう変形することですっきりした式になることがわかった。

$l = \int_{D}\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}$

まさに演算子法の恩恵といえるべきものであろう。やはり、数式というものは美しくなければならない。